Les mathématiques du tennis : pourquoi gagner 55 % des points remporte la plupart des matchs

Ça a l'air d'une coquille. Sur une carrière qui a rapporté 103 titres, une récolte que seul un homme a surpassée dans l'Ère Open, Roger Federer a remporté environ 54 % des points joués. À peine plus de la moitié. Perdre 46 points sur 100 dans la plupart des sports, c'est être un joueur moyen, pas l'un des plus grands joueurs de tous les temps.

Et pourtant, son palmarès en simple affiche 1 251 victoires et 275 défaites. C'est un taux de victoires de 82 % sur les matchs. BBC Radio 4's More or Less a soumis ce mystère à Jeff Sackmann, le cerveau statistique derrière Tennis Abstract, et sa réponse est l'idée la plus utile en paris sur le tennis : le système de scoring est un amplificateur.

Les points deviennent des jeux, les jeux deviennent des sets, les sets deviennent des matchs. À chaque étape, une petite marge est étirée un peu plus, jusqu'à ce que 54 % sur les points ressemble à une domination sur le tableau de score.

Comprendre cette mathématique du pari sur le tennis, et vous ne lirez plus jamais un cote tennis de la même manière. Vous cesserez de supposer qu'un favori court en Grand Chelem doit être une mauvaise valeur, vous arrêterez de payer au-dessus du cote pour des "spécialistes du tie-break", et vous verrez les paris sur les sets et les handicaps sur les jeux pour ce qu'ils sont vraiment. Nous allons construire cela à partir d'un seul point jusqu'à un meilleur de cinq, puis transformer les chiffres en cotes.

Pensez au tennis comme à une course dans une course. Un jeu se joue au premier à quatre points, avec deux points d'écart, ce qui est l'origine du jeu égal. Un set se joue au premier à six jeux, toujours avec deux points d'écart, et un tie-break est généralement disputé en cas d'égalité à 6-6. Le match est remporté par celui qui gagne le plus de sets, sur une série de trois ou cinq sets, et la série de cinq est principalement réservée au simple masculin des Grands Chelems.

Le tie-break se joue au premier à sept points, avec deux points d'écart, et les Grands Chelems disputent désormais une version de 10 points dans le set décisif. C'est plus récent que vous ne le pensez : James Van Alen l'a présenté au Newport Casino, dans le Rhode Island, en 1965.

Deux particularités de cette structure dictent tout ce qui suit. Le service alterne de jeu en jeu, donc un set est en réalité un duel entre deux séries de services. Et le tie-break est le seul endroit où le service change tous les deux points (un point pour le premier serveur, puis deux chacun, avec changement de terrain tous les six points). Cela répartit l'avantage du serveur principal, ce qui explique pourquoi les tie-breaks se comportent si différemment du reste du set.

On commence par un seul service. Appelons p la probabilité que le serveur remporte un point donné et q la probabilité qu'il le perde. Le serveur peut gagner le jeu à zéro, à 15 ou à 30, ou bien le jeu part en égalité (deuce), où il lui faut deux points d'avance sur la balle avant que le receveur n'obtienne les siens.

p = probabilité que le serveur remporte un point,  q = 1 - p

P(hold) = p^4 × (1 + 4q + 10q^2)  +  20 × p^3 × q^3 × p^2 / (p^2 + q^2)
          \__ gain à 0, 15 ou 30 __/     \_ accès au deuce _/   \_ gain depuis le deuce _/

Maintenant, insérons les données d'un serveur qui remporte 60 % de ses points en service :

p = 0,60, q = 0,40

Gain à 0, 15 ou 30 :   0,1296 × 4,2           = 0,544
Accès au deuce :       20 × 0,216 × 0,064     = 0,276
Gain depuis le deuce : 0,36 / (0,36 + 0,16)   = 0,692

P(hold) = 0,544 + 0,276 × 0,692              = 0,736  ->  73,6 %

Remporter 60 % de vos points en service, c'est garder le service dans près de trois jeux sur quatre. Voici comment la courbe s'élève :

Notre modèle : chaque point est indépendant, avec la même probabilité à chaque fois.

Regardez le saut entre 50 % et 55 %. Cinq points d'avance en service se transforment en douze points d'avance en termes de hold. C'est pour cela que le pourcentage de hold, et non le nombre de points gagnés, est l'indicateur clé à surveiller en service. Le modèle tient aussi sur le terrain réel. Paul Newton et Joseph Keller ont passé les demi-finalistes féminines de l'US Open 2002 dans notre modèle : Serena Williams a remporté 69 % de ses points en service et a tenu 91 % de ses jeux de service, contre les 89 % que la formule prédisait.

On empile les matchs. Notre modèle part de deux joueurs parfaitement équilibrés, qui remportent chacun 64 % des points en service et 36 % en retour. Ensuite, on accorde au joueur A un petit avantage, le même nombre de points supplémentaires sur le service comme sur le retour, et on le passe au crible sur un set (tie-break à 6-6) et sur un match complet. Newton et Keller ont démontré que dans ce type de modèle, le fait de servir en premier ou en second ne change rien à la probabilité de gagner un set, donc le tirage au sort n'a pas d'importance.

Notre modèle : points indépendants, taux de service et de retour fixes sur l'ensemble du match.

La ligne des 55 % est le titre d'actualité. Gagner 55 % des points face à un adversaire autrement égal vous donne environ 89 % de chances de gagner un meilleur des trois et 94 % d'un meilleur des cinq. Même un avantage de 51 %, soit un point de plus pour cent, vous place en favori à 60 % sur trois sets.

Suivons cet avantage à travers la chaîne. Accordez au joueur A quatre points de plus pour cent sur le service et le retour. Son taux de garde passe de 81,3 % à 87,5 % et son taux de casse de 18,7 % à 26,4 %. Cela lui permet de gagner trois sets sur quatre, et 84 % des meilleurs des trois.

Maintenant, réintroduisons les 54 % de Federer. Le tableau donne un taux de victoire au meilleur des trois dans la moyenne des 80 %, juste à côté de son 82 % réel. L'énigme est résolue.

Plus la partie est longue, plus le meilleur joueur a d'occasions de le démontrer. On peut appeler ça la loi des grands nombres, version bandeau blanc. Sur une série au meilleur des cinq sets, un joueur avec un taux de points de 54 % passe de 84 % à 89 %. Un joueur à 52 % passe de 69 % à 73 %. Même joueurs, même avantage, une cote nettement plus courte.

C'est pour cela que les matchs hommes des Slams produisent des favoris si courts, et pourquoi une cote très courte chez un bookmaker comme Wimbledon peut être parfaitement juste plutôt que « sans valeur ». Une probabilité de 90 % vaut environ 1,11. Si votre analyse honnête de la confrontation indique 93 %, cette cote de 1,11 est un pari de valeur, aussi courte qu'elle puisse paraître.

Inversez la logique et les outsiders ont leur jour. En dehors des Slams, les événements hommes comme les Masters 1000 se jouent au meilleur des trois sets, et la WTA joue au meilleur des trois sets partout. Les outsiders sont structurellement mieux servis sur trois sets, car la classe a moins de temps pour s'exprimer. Si vous soutenez un outsider, le format est la moitié de votre argument. Notre guide de paris sur le tennis pour l'ATP, la WTA et les Grands Chelems approfondit la manière de traiter chaque circuit.

Donc, lorsque vous comparez la cote d'un joueur à un Slam avec sa cote à un tournoi au meilleur des trois sets, ne vous attendez pas au même chiffre. Le meilleur des cinq sets devrait rendre le joueur le plus fort plus court. Si ce n'est pas le cas, demandez-vous pourquoi.

Chaque match de tennis est un double combat : ce que vous faites sur votre service et ce que vous faites sur celui de l'adversaire. Chez les hommes, la part de points gagnés sur service se situe généralement dans les 60 %, ce qui, sur notre courbe, signifie la conservation de la grande majorité des jeux de service. Les breaks sont une monnaie rare et précieuse, et celui qui en gagne quelques-uns de plus l'emporte.

Les grands serveurs déforment toute la forme d'un set. Voici à quelle fréquence notre modèle envoie un set entre deux joueurs égaux vers un 6-6 :

• Les deux gagnent 62 % sur service (conservation d'environ 78 %) : environ un set sur cinq va jusqu'au tie-break.
• Les deux gagnent 64 % sur service (conservation d'environ 81 %) : environ 23 %.
• Les deux gagnent 70 % sur service (conservation d'environ 90 %) : environ 38 %.
• Les deux gagnent 75 % sur service (conservation d'environ 95 %) : proche de 58 %, donc plus souvent qu'autrement.

Mettez deux machines à service sur un court rapide et le match se joue sur une poignée de points de tie-break. C'est exactement le contexte des ATP Finals à Turin, un court indoor dur rapide où tous les matchs se jouent en trois sets. C'est aussi pourquoi les grands serveurs sont des favoris malcommodes et des outsiders dangereux.

Et le tirage au sort ? Dans l'étude de Tennis Abstract sur les matchs du tableau principal de l'ATP en 2013, le premier serveur a gagné 52 %. Le format ne favorise structurellement aucun des deux joueurs, et un avantage aussi mince ne vaut pas un pari à lui seul.

« Il n'existe aucun facteur magique pour le tie-break. »
— Jeff Sackmann, Tennis Abstract

Sackmann a passé au crible les archives des tie-breaks et a découvert que, pour l'immense majorité des joueurs, les résultats ressemblent exactement au hasard. Les meilleurs joueurs remportent davantage de tie-breaks parce qu'ils sont meilleurs, point final. Tout le monde gagne légèrement moins de points de service en tie-break, mais ce repli est à peu près identique pour tous.

Notre modèle explique pourquoi. Un tie-break est une rafale courte de sept points ou plus, et les courtes séquences sont là où la variance fait la loi. Le joueur qui possède 54 % de points remporte 84 % des matchs en meilleur de trois, mais seulement environ 63 % des tie-breaks. Le joueur à 51 % en gagne 53 %, à peine mieux qu'une pièce de monnaie.

Isner, Fritz et les séries de victoires qui s'éteignent

John Isner, l'archétype du marchand de tie-breaks, a remporté 42 des 68 tie-breaks en 2017. Sur ses points de service et de retour, il aurait dû en gagner environ 34, soit à peu près la moitié. L'année suivante, il en a joué 73, le modèle en prévoyait 41, et il en a gagné 39. La magie a disparu.

Taylor Fritz a signé un bilan de 20-8 en tie-breaks en 2018, contre une expectation de 13,3 sur 28. À l'autre bout de l'échelle, Robin Haase détient le record de défaites consécutives en tie-break avec 17 d'affilée. Même Federer était à peu près neutre, gagnant des points de tie-break à un taux presque identique à celui de tous ses autres points.

Donc ne payez jamais un prix premium pour un « roi du tie-break ». Un joueur qui a remporté une foule de tie-breaks cette saison a surtout eu de la chance, et la chance a tendance à revenir à la moyenne. Les recherches sur le coup de chaud dans le sport pointent dans la même direction : les séries existent mais sont petites, et le prix en paie généralement trop.

Chaque cote est une probabilité déguisée : divisez 1 par la cote décimale. Appliquez nos chiffres de probabilité de victoire à l'envers et vous obtenez les cotes justes :

Cotes justes sans marge du bookmaker. Les cotes réelles seront plus courtes.

Les bookmakers intègrent une marge. Cotez une rencontre parfaitement équilibrée à 1,90 pour les deux joueurs et les probabilités implicites s'additionnent à 105,3 %, soit une marge d'environ 5 %. Notre guide sur la suppression de la marge du bookmaker pour trouver les cotes justes détaille quatre méthodes pour l'éliminer, et notre guide complet sur la probabilité dans les paris sportifs explique la probabilité implicite et la valeur attendue étape par étape.

Paris sur le match

Une cote sur la victoire du match n'est que aussi bonne que votre lecture de l'avantage en part de points, et regardez à quel point elle est sensible : un joueur à 52 % a des cotes justes de 1,45, un joueur à 54 % des cotes justes de 1,19. Deux points sur cent séparent une cote correcte d'une mauvaise. Construisez votre estimation à partir des statistiques de service et de retour sur la surface, pas à partir des classements.

Paris sur les sets et score exact

Dans notre modèle, une victoire sans set perdu sur trois sets est simplement la probabilité de gain d'un set au carré. Le joueur à 54 % gagne 2-0 environ 56 % du temps ; le joueur à 51 % seulement environ 32 %. Les marchés de score exact et de « gain d'un set » oscillent fortement avec de minuscules changements de l'avantage, donc ils récompent une estimation honnête et punissent une estimation paresseuse.

Handicaps sur les jeux

Les handicaps fonctionnent sur le même moteur de service et de retour. Deux serveurs puissants compressent la marge de jeux, car les sets se terminent souvent 7-6 ou 6-4 même quand un joueur est clairement meilleur. Cela tend à aider l'outsider sur la ligne plus que la cote du match ne le suggère. Inversez la logique pour un bon retour dans une partie de longs échanges : les breaks s'enchaînent et les scores deviennent déséquilibrés.

En direct

C'est là que les mathématiques se révèlent vraiment utiles. Entre deux joueurs de niveau égal, celui qui gagne le premier set remporte la meilleure des trois 75 % du temps, donc une cote juste de 2,00 devient une cote juste de 1,33 (1/3). Mais un vrai favori qui perd le premier set est beaucoup moins en difficulté que le tableau de score ne le laisse penser. Notre joueur à 54 % gagne encore 56 % du temps depuis un set de retard sur trois sets, et 42 % depuis deux sets de retard en meilleure des cinq. Quand le marché panique, c'est votre fenêtre d'opportunité.

Les points ne sont pas parfaitement indépendants, et le modèle ne prétend pas l’être. Klaassen et Magnus ont identifié un « effet du premier jeu », où le premier jeu d’un match est le plus difficile à briser, ainsi que des indices montrant que les points ne sont pas totalement indépendants les uns des autres. Ils ont ensuite construit un modèle qui met à jour la probabilité de victoire du match point par point. La bonne nouvelle pour les parieurs : ces effets n’ont qu’une influence mineure sur les résultats.

Le momentum, la fatigue et les blessures restent également hors de la formule. Un joueur qui gère un petit souci au quatrième set n’est plus celui qui est sorti au début, et aucune statistique ne vous le dira. Utilisez nos chiffres comme point de référence, puis ajustez en fonction de ce que vous observez sur le terrain.

Les 54 % de Federer ont leur propre piège. Une moyenne sur toute la carrière est calculée par rapport à l’ensemble du peloton, y compris les routiers des premiers tours, ce qui surestime l’avantage qu’il aurait face à un rival du top 10. Entre de véritables joueurs d’élite, l’écart dans la répartition des points est beaucoup plus faible. Comme le montrent les tableaux, toutefois, même un avantage de 1 ou 2 % suffit pour faire de quelqu’un un favori clair.

Les meilleurs paramètres sont ceux qui alimentent directement le modèle : les points gagnés en service et les points gagnés en retour, idéalement sur la même surface. Les taux de conservation et de break suivent. Le classement est, en revanche, très en retrait.

• Respectez l'amplificateur. Les petits avantages en points se transforment en gros avantages sur la rencontre, donc un favori court n'est pas automatiquement une mauvaise cote. Évaluez d'abord l'avantage, puis jugez la cote.
• Le meilleur de cinq raccourcit les cotes des favoris. Attendez-vous à ce que le joueur le plus fort ait une cote plus courte lors d'un Grand Chelem que dans un tournoi en meilleur de trois, et accordez plus de chances aux outsiders sur le circuit WTA et dans les tournois ATP en meilleur de trois.
• Fuyez les rois du tie-break. Les tie-breaks sont proches de piles. Un palmarès de tie-breaks éclatant signifie souvent une saison de chance, et la chance a tendance à revenir à la moyenne.
• Misez sur l'outsider sur la ligne de jeux entre les grands serveurs. Une série de sets sur 7-6 réduit la marge, donc le handicap s'adapte souvent mieux à l'outsider que la cote du match.
• Ne paniquez pas en cours de jeu. Un vrai favori qui perd un set a encore une réelle chance, et le marché adore surréagir au score.
• Ignorez le tirage au sort. L'avantage du premier service sur le circuit ATP est d'environ 52 %, ce qui est loin d'être suffisant pour miser dessus à lui seul.
• Utilisez les données de points, pas les classements. Les points gagnés en service et en retour sur la surface sont le plus proche d'une véritable évaluation de la force en tennis.

Peu importe ce que dit le modèle, misez le même montant raisonnable sur chaque pari et ne chasez jamais les pertes. Le tennis récompense la patience sur de nombreux matchs, pas les exploits sur un seul.

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