La marge du bookmaker et les cotes justes : comment supprimer le vig (4 méthodes comparées)

Entrez dans n'importe quel bookmaker ou ouvrez n'importe quelle application, et chaque cote affichée à l'écran contient une petite part intégrée. On ne la trouve pas écrite noir sur blanc. Il n'y a pas de ligne sur votre coupon indiquant « frais ». Mais elle est présente sur chaque sélection dans chaque marché, chaque samedi, et sur une saison entière, c'est elle qui détermine si vous jouez un jeu équitable ou un jeu truqué.

Cette part, c'est la marge du bookmaker. Appelez-la l'overround, le vig, le vigorish ou le juice ; c'est toujours la même chose. Le bookmaker fixe chaque issue légèrement plus courte qu'elle ne devrait l'être, de sorte que la maison gagne de l'argent quelle que soit la résultat.

On peut toutefois l'inverser. Retirer le vig et ce qui reste, ce sont les cotes justes : la lecture honnête du bookmaker sur les chances de chaque issue, et le chiffre contre lequel chaque parieur sérieux devrait mesurer ses paris. Nous allons calculer la marge, montrer pourquoi elle pèse plus lourd sur certaines issues que sur d'autres, puis tester quatre méthodes pour la retirer sur un même match, afin que vous puissiez voir exactement où elles concordent et où elles divergent.

Chaque cote décimale est une probabilité déguisée. Divisez 1 par la cote et vous obtenez la probabilité implicite du bookmaker (notre guide sur la probabilité dans les paris sportifs approfondit les conversions). Les cotes fractionnaires se convertissent en divisant et en ajoutant un, ainsi 6/4 devient 2,50, ce qui implique une probabilité de 40 %.

Dans un bookmaker parfaitement équitable, ces probabilités implicites s'additionnent pour atteindre exactement 100 %. L'exemple classique de football est Égalité, 2/1 et 5/1 :

Égalité (2,00) :  1/2,00 = 0,500
2/1   (3,00) :  1/3,00 = 0,333
5/1   (6,00) :  1/6,00 = 0,167
Total                = 1,000   ->  un bookmaker équitable, sans marge

Vous ne verrez jamais un bookmaker réel comme celui-ci. Ajustez chacune de ces cotes et le total dépasse 100 %. L'excédent est la marge.

Marchés à deux issues

Les cotes de tennis, les handicaps asiatiques et les lignes de buts ont généralement deux issues. Voici un marché à deux issues serré :

Joueur A 1,926 :  1/1,926 = 0,5192
Joueur B 2,020 :  1/2,020 = 0,4950
Total                    = 1,0143  ->  marge d'environ 1,4 %

C'est une cote très serrée. La version courante est 1,91 des deux côtés (environ 10/11), ce qui donne un total de 104,71 %, soit une marge de 4,71 %.

Marchés à trois issues

Le marché 1X2 du football fonctionne de la même manière, avec un match nul au milieu :

Domicile 2,00 :  1/2,00 = 0,500
Nul 3,60 :  1/3,60 = 0,278
Extérieur 3,60 :  1/3,60 = 0,278
Total              = 1,056   ->  marge de 5,6 %

Ce total est le somme du bookmaker. En soustrayant 1, vous obtenez la marge. C'est toute la calcul, et après quelques essais, vous le ferez dans votre tête en regardant un tableau de cotes.

Les marges varient selon les bookmakers, les ligues et les marchés, et elles ont été en hausse discrète.

Les spécialistes des faibles marges comme Pinnacle cote les paris 1X2 de la Premier League à environ 2 %. La moyenne du secteur se situe plutôt à 6 %, et certains bookmakers poussent la somme du book jusqu'à 110 %, soit un prélèvement de 10 % sur un seul match. Étalez cela sur une saison et l'écart entre payer 2 % et payer 10 % est colossal.

La ligue compte tout autant. Plus on descend dans la pyramide, plus l'intérêt pour les paris est faible et plus la marge est graisseuse :

Deux éléments saillent immédiatement. Les championnats de premier rang affichent généralement des marges comprises entre 4 % et 5 %, tandis que les divisions inférieures et les championnats de deuxième division dépassent souvent les 7 %. En outre, toutes les lignes ont augmenté sur cinq saisons, avec la marge de la Premier League qui est passée de 4,12 % à 4,65 %. Notre guide sur les meilleurs championnats pour les cotes de paris détaille où se trouvent les marchés les moins chers.

Les marges ne s'additionnent pas sur un combiné. Elles se multiplient. Si chaque sélecteur d'un quatre-pécher rapporte environ 95p pour une livre, le pari entier rapporte environ 0,95 × 0,95 × 0,95 × 0,95, soit 81,5p pour une livre. Quatre petits prélèvements deviennent un gros. Pas étonnant que les bookmakers adorent le combiné.

Le bookmaker pourrait déduire le même pourcentage sur chaque issue. La plupart ne le font pas, et la raison est l'un des patterns les plus anciens dans les paris.

Les parieurs adorent les outsiders. Le biais favori-outsider décrit la façon dont les outsiders sont sur-parés par rapport à leurs chances réelles, tandis que les favoris sont sous-parés, un phénomène que le turf a documenté depuis des décennies. Si le public est prêt à prendre 6,50 sur un cheval ou une équipe qui devrait être à 7,50, le bookmaker n'a aucune raison d'offrir plus, si bien que les cotes les plus élevées tendent à porter une part plus importante de la marge. Notre guide sur le biais favori-outsider couvre la psychologie derrière ce phénomène.

Il y a aussi une raison plus précise. En 1992, l'économiste Hyun Song Shin a publié un modèle dans le Economic Journal basé sur une simple inquiétude : une partie de l'argent qui arrive appartient à des initiés qui en savent plus que le bookmaker. Un outsider est l'endroit où un initié fait le plus de dégâts, car un pari gagnant à cotes élevées coûte beaucoup plus cher qu'un pari à cote équilibrée. Le bookmaker se protège donc en érodant le plus les cotes des outsiders.

Les deux explications pointent dans la même direction. Sur un coupon de football typique, le favori est le pari le moins cher du marché et l'outsider est le plus cher. Cela compte quand on retire la marge, car la méthode que vous choisissez détermine qui vous pensez être celui qui la paie.

D'abord, la notation. Chaque probabilité implicite brute est q = 1/cote. On les additionne pour obtenir la somme du bookmaker S, et la marge est M = S − 1. Il y a n issues, et p est la probabilité juste que l'on cherche.

1. Multiplicative (proportionnelle)

La plus simple et la plus largement utilisée. On divise chaque probabilité implicite par la somme du bookmaker :

p = q / S

Elle suppose que chaque issue est surévaluée dans la même proportion, donc chaque pari « coûte » la même chose. Rapide et propre, mais aveugle au biais favori-longshot.

2. Additive (marge égale par issue)

On retire la même part de probabilité à chaque issue :

p = q − M / n

Un longshot a moins de probabilité au départ, donc perdre la même part l'atteint proportionnellement plus fort. On voit aussi cette méthode vendue sous le nom de Pondération de la marge différentielle, popularisée par Joseph Buchdahl, qui applique la marge en proportion des cotes. En faisant l'algèbre, on arrive exactement à la même formule, donc c'est une méthode qui porte deux chapeaux. Le hic, c'est que sur des cotes très élevées, elle peut cracher une probabilité négative, ce qui est manifestement absurde.

3. Puissance

On cherche un seul exposant k qui fait que les probabilités s'additionnent à un :

trouver k tel que  q1^k + q2^k + q3^k = 1
puis              p = q^k            (k > 1 quand il y a une marge)

Élever un petit nombre à une puissance le rétrécit proportionnellement plus qu'un grand nombre, donc les outsiders perdent plus de leur chance implicite. Elle ne produit jamais une probabilité inférieure à zéro ou supérieure à un, et quelques lignes de code trouveront k pour vous.

4. Méthode de Shin

Celui-ci est bâti sur le modèle d'insider de Shin. On résout pour z, la part de l'argent insider implicite par le modèle, pour que les probabilités justes s'additionnent à un :

p = ( sqrt( z^2 + 4(1 − z) · q^2 / S ) − z ) / ( 2(1 − z) )

Ça a l'air effrayant, mais un ordinateur trouve z en quelques millisecondes. Sur un marché à deux issues, Shin et l'additive donnent des réponses identiques. Ajoutez une troisième issue et ils divergent.

C'est le moment de passer les quatre méthodes en revue sur un seul marché. Imaginez un grand favori de Premier League à domicile : Domicile 1,55 (11/20), Nul 4,20 (16/5), Extérieur 6,50 (11/2). Ce sont des cotes illustratives, le genre qu'on voit la plupart des week-ends.

Domicile 1/1,55 = 0,6452
Nul 1/4,20 = 0,2381
Extérieur 1/6,50 = 0,1538
Somme du bookmaker S   = 1,0371   ->  marge de 3,71 %

Maintenant, on retire la marge :

Regardez la colonne des matchs à l'extérieur. Le cote juste sur l'outsider varie de 6,74 à 7,07 selon la méthode, soit une oscillation d'environ 5 %. Sur le favori, les méthodes ne se distinguent que de moins de 2 %. Votre choix de méthode a peu d'importance pour le coup sûr et en a beaucoup pour le coup improbable.

Retournons la question. Si les probabilités justes de chaque méthode sont correctes, combien coûte un pari de 1 £ sur chaque issue ?

• Multiplicative indique que chaque pari coûte le même prix : −3,58 % sur la victoire à domicile, le match nul et la victoire à l'extérieur.
• Shin dit que la victoire à domicile coûte −2,34 %, le match nul −4,80 % et la victoire à l'extérieur −6,88 %.
• Additive va plus loin : −1,92 % sur la victoire à domicile, −5,19 % sur le match nul et −8,04 % sur la victoire à l'extérieur.

C'est le biais du favori-longshot en chiffres simples. Sous les méthodes qui le prennent en compte, parier sur la cote à 6,50 vous coûte environ trois à quatre fois plus que parier sur le favori à 1,55. Même match, même bookmaker, coût très différent.

Retour à ce marché deux-way à 1,91/1,91. Toutes les méthodes donnent des cotes justes de 2,00 pile ou face, car les méthodes ne divergent que lorsque les cotes sont déséquilibrées. Sur un handicap nul ou un match de tennis qui revient à un pile ou face, la simple division par le total suffit.

Erik Štrumbelj, de l'Université de Ljubljana, a testé cela sérieusement. Il a pris les cotes finales avant le coup d'envoi de Betfair et de 13 bookmakers à cotes fixes, dont Bet365, Ladbrokes, bwin et Unibet, sur 37 compétitions dans cinq sports d'équipe, dont le football. La méthode de Shin a produit les probabilités les plus précises dans 217 des 412 paires bookmaker-compétition qu'il a examinées. Il a aussi constaté que l'avantage diminue à mesure que les marchés deviennent plus gros, ce qui est logique : plus il y a d'argent dans un marché, moins il y a de place pour la distorsion.

Une seconde étude, menée par Clarke, Kovalchik et Ingram en 2017, a introduit la méthode de puissance dans la mixité. Sur trois grands ensembles de données de bookmakers dans trois sports, ils ont trouvé qu'elle « surpasse universellement la méthode multiplicative et surpasse ou est comparable à la méthode de Shin ». Elle ne produit jamais de probabilités impossibles, non plus.

Voilà où on en arrive :

• Pour un coup d'œil rapide, la méthode multiplicative suffit. Sur un marché équilibré, c'est assez proche.
• Pour tout ce sur quoi vous pariez de l'argent réel, utilisez la puissance ou Shin. Elles respectent le biais du favori-longshot, et les preuves disent qu'elles sont plus précises.
• Sur les gros favoris et les longshots, évitez la multiplicative. C'est exactement là qu'elle se trompe, et exactement là que les questions de valeur se posent.

Quel que soit votre choix, tenez-vous-y. La cohérence bat le bricolage. Les paquets Python gratuits shin et penaltyblog font le travail lourd, ou vous pouvez en faire vous-même. La méthode de puissance prend une douzaine de lignes :

def power_devig(odds):
    q = [1 / o for o in odds]
    lo, hi = 1,0, 2,0
    for _ in range(60):              # bisection sur k
        k = (lo + hi) / 2
        if sum(p ** k for p in q) > 1:
            lo = k
        else:
            hi = k
    return [p ** k for p in q], k

power_devig([1,55, 4,20, 6,50])      # k ressort à environ 1,0417

C'est ici que la dé-vigging justifie pleinement son existence. Les cotes justes sont le fondement du value betting, et il existe trois approches pratiques pour les exploiter.

Confrontez votre propre vision au bon chiffre

Supposons que votre modèle attribue à l'équipe à domicile dans notre exemple une probabilité de 66 %. Votre espérance de gain à 1,55 est :

EV = cotes × votre probabilité − 1
   = 1,55 × 0,66 − 1
   = +2,3 %

Baissez votre estimation à 64 % et elle devient de −0,8 %, car le point d'équilibre est de 1/1,55, soit 64,5 %. Comparez toujours votre estimation avec le point d'équilibre du prix que vous pouvez réellement obtenir, et non avec le prix juste. Les cotes justes vous indiquent ce que le marché croit. Les cotes proposées vous indiquent ce que vous serez payé.

Les cotes justes vous gardent également honnête. La vision du marché sans marge ici est d'environ 62 % à 63 %. Affirmer 66 % signifie que vous pensez savoir trois ou quatre points de plus que tout le monde, alors il vaut mieux que vous ayez une raison : des nouvelles sur les équipes, un déséquilibre tactique ou un modèle avec un historique de performance. Notre guide sur le value betting dans le football détaille comment construire cet argument.

Repérez les cotes faibles

Dé-vig une cote d'un bookmaker solide et à faible marge, et vous obtenez une estimation robuste du prix réel. Tout bookmaker offrant une cote supérieure à ce prix juste, même avec sa propre marge intégrée, mérite un examen plus attentif. C'est la logique derrière le shopping de lignes, et vous n'avez pas besoin d'un modèle pour le faire.

Évaluez-vous par rapport à la clôture

Le test le plus juste d'un pari est de savoir si vous battez la cote de clôture, et la version la plus juste de ce test compare vos cotes avec la clôture dé-viggée. Les cotes de clôture brutes vous flattent, car la marge y est toujours incluse. Notre guide sur la Closing Line Value montre la méthode complète, et ces mêmes prix sans marge constituent le meilleur benchmark si vous construisez vos propres notations, comme les notations Elo avec lesquelles beaucoup de parieurs commencent.

Les cotes dé-viggées d'un bookmaker vous donnent la vision de ce bookmaker et rien de plus. Štrumbelj a découvert que certains bookmakers sont des prévisionnistes mesurablement meilleurs que d'autres, et que les prix des bourses ne sont pas toujours les plus précis sur les petits marchés. Prenez votre prix juste à partir de la source la plus forte que vous pouvez trouver.

• Connaissez votre marge avant de miser. Additionnez les probabilités implicatives sur n'importe quel marché que vous comptez jouer. Dix secondes suffisent pour savoir si vous payez 2 % ou 10 %.
• Privilégiez les grands championnats et les bookmakers à faible marge. Un marché 1X2 de Premier League autour de 4,5 % vous offre bien plus de chances qu'un marché de League One à 7 %.
• Soyez méfiant avec les outsiders. Ils portent la part la plus lourde de la marge, donc une cote élevée est souvent une cote piège. Misez sur eux uniquement si vous êtes certain que le marché s'est trompé, pas simplement parce que le chiffre semble alléchant.
• Utilisez la puissance ou Shin quand c'est crucial. Sur les favoris courts et les outsiders lointains, le calcul multiplicatif vous trompera. Sur les marchés équilibrés à deux issues, n'importe quelle méthode convient.
• Battez la cote proposée, pas la cote juste. Les cotes justes indiquent ce que le marché pense ; votre pari n'a de valeur que si votre probabilité dépasse le seuil de rentabilité de la cote que vous prenez réellement.
• Gardez vos combinés courts. Chaque sélecteur supplémentaire compense la marge, et un quadruple à 95p la livre par sélecteur est déjà tombé à environ 81,5p.
• Évaluez-vous face au close dé-vigé. C'est le tableau de bord le plus honnête du pari sportif.

Le dé-vigage vous montre ce que le marché pense ; il ne vous donnera pas un avantage à lui seul. Gardez vos mises plates et raisonnables, et laissez les chiffres, et non l'excitation, décider quand vous jouez.

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