Nauka o rzutach karnych: teoria gier, dane i kto naprawdę wygrywa

Nicoż nie czuło się tak w piłce. Mecz dobieł końca, stadion wy cisnął, a jeden zawodnik rusza od linii środkowej z całym ciężarem nocy na swoich barkach. Strzelisz i wykonałeś swoją robotę. Nie trafisz, a będziesz historią przez kolejne dziesięć lat.

IFFB wprowadziło rzuty karne w 1970 roku, a Mistrzostwa Świata zyskały swój pierwszy taki moment w półfinale w 1982 roku: RFN pokonała Francję 5-4 po remisie 3-3, a Harald Schumacher obronił dwa strzały. Od tamtej pory odbyło się 39 serii rzutów karnych na mundialach. Cztery z nich miały miejsce na rozszerzonym turnieju w 2026 roku, gdzie dziewięć z 32 meczów fazy pucharowej przedłużyło się do dodatkowego czasu, a cztery do pełnych 120 minut. Hiszpania zdobyła puchar, nie wykonując ani jednego strzelonego rzutu karnego.

I to nie jest tylko letni scenariusz. Sezon 2026/27 ma dopiero siedem lub osiem tygodni, rundy pucharowe już ruszyły, a Puchar EFL przechodzi od razu do rzutów karnych po 90 minutach. Bez dodatkowego czasu. Community Shield działa w ten sam sposób.

Wszyscy nazywają to rzutem monetą. To tylko połowa historii, a druga połowa jest tym, co czyni temat interesującym. Każdy strzał to mały duet, który teoretycy gier rozbierają na czynniki, statystyki strzelców i bramkarzy są fascynujące, a stara dyskusja o tym, czy strzelanie jako pierwszy pomaga, ma jasnego zwycięzcę. A jest jeszcze ten fragment, który dla nas ma największe znaczenie: jak obstawiać puchary, które mogą zakończyć się na dwunastu jardach.

Sprowadź rzut karny do najprostszego schematu i masz dwóch ludzi, którzy muszą odgadnąć intencje przeciwnika. Strzelec wybiera stronę. Bramkarz też, i niemal zawsze podejmuje decyzję zanim piłka zostanie uderzona, bo po strzale nie ma już czasu na reakcję. Jeśli odgadnie dobrze, ma szansę na obronę. Jeśli się pomylim, strzelec niemal na pewno strzeli.

Teoretycy gier nazywają ten układ matching pennies, a jego złote zasady brzmi tak: każdy nawyk jest karany. Strzelec, który zawsze kopie w lewo, szybko zostaje zdemaskowany. Bramkarz, który zawsze rzuca się w stronę dominującą strzelca, też trafia na swoją grę. Jedyny niepokonany sposób to strategia mieszana: wybierać każdą stronę z określoną częstotliwością, żeby nikt nie mógł Cię odczytać.

Piękne jest to, jak te prawdopodobieństwa się układają. W równowadze mix każdego gracza zostawia drugiego bez możliwości zysku przez zmianę taktyki. Weźmy prosty, wymyślony przykład, w którym strzelec strzela w 90% przypadków, gdy bramkarz skoczy w złą stronę, i w 50%, gdy odgadnie dobrze:

Obaj gracze wybierają lewo lub prawo 50/50

P(strzela | bramkarz skacze w lewo)  = 0,5 × 0,50 + 0,5 × 0,90 = 0,70
P(strzela | bramkarz skacze w prawo) = 0,5 × 0,90 + 0,5 × 0,50 = 0,70

Żadna ze stron nie może poprawić wyniku przez zmianę: strzelono 70%

Prawdziwi strzelcy nie są tak uporządkowani. Większość ma naturalną stronę, w którą kopie mocniej i dokładniej. Jeśli damy naszemu wyimaginowanemu strzelcowi wyraźniejszą dominującą stronę, obliczenia stają się ciekawsze:

Szansa strzelca             Bramkarz skacze w naturalną stronę   Bramkarz skacze w drugą stronę
Strzał w naturalną stronę                 60%                          95%
Strzał w drugą stronę                     92%                          50%

Optymalny mix strzelca (naturalna strona) = (0,92 - 0,50) / ((0,92 - 0,50) + (0,95 - 0,60))
                                         = 0,42 / 0,77 = 54,5%
Optymalny mix bramkarza (naturalna strona) = (0,95 - 0,50) / 0,77 = 58,4%

Współczynnik strzelecki w równowadze      = 74,5%, niezależnie od wyboru strzelca

Oto jest haczyk. Bramkarz powinien skakać w stronę naturalną częściej, niż strzelec tam faktycznie kopie. Siła strzelca jest realna, ale ponieważ bramkarz się na nią nastawia, nie może po prostu wbijać każdej piłki w swój ulubiony róg. Oba kończą się na mieszaniu, a współczynnik strzelecki wychodzi taki sam, niezależnie od kierunku strzału.

To jest najciekawsza część, ponieważ można to przetestować. Jeśli piłkarze mieszają strzały poprawnie, w danych powinny pojawić się dwie rzeczy. Wskaźnik strzelania każdego zawodnika powinien być mniej więcej taki sam niezależnie od tego, którą stronę wybierze, a jego wybory nie powinny tworzyć wzoru, który da się rozszyfrować na podstawie jego ostatnich kilku strzałów.

Ekonomista Ignacio Palacios-Huerta przetestował dokładnie to na rzutach karnych w europejskich ligach, podobnie jak robili to w 2002 roku Pierre-André Chiappori, Steven Levitt i Tim Groseclose w artykule opublikowanym w American Economic Review. Oboje wykazało, że zawodnicy zachowują się bardzo blisko tego, czego przewiduje teoria. Chiappori i jego zespół poszli jeszcze krok dalej, uwzględniając graczy, którzy różnią się od siebie, mają wyraźniejsze naturalne strony oraz możliwość strzelania w środek. Historia równowagi nadal się sprawdziła.

To jest świetny wynik. Poproś większość ludzi, żeby „byli losowi”, a okażą się bezradni, wpadając w schematy, nie zdając sobie z tego sprawy. Elitarni strzelcy i bramkarze, z latami treningu i realnymi stawami, trafiają blisko podręcznikowej odpowiedzi.

Dla każdego, kto ogląda meczy z kanapy, wniosek jest prosty: strona, którą wybiera zawodnik, mówi bardzo niewiele. Gdyby jego schemat był łatwy do odczytania, bramkarze już dawno by na tym zarabiali.

Rzuty karne w normalnym czasie padają jak na zawody. W średniej na każde trzy meczy przypada jeden podyktowany rzut karny, a w ponad trzech na cztery takie sytuacje piłka trafia do siatki. Seria rzutów karnych to zupełnie inna bajka.

Badanie opublikowane w 2024 roku w PLOS ONE przez Vollmera, Schocha i Brandes przeanalizowało około 50 000 rzutów karnych z jedenastu sezonów europejskiej piłki nożnej mężczyzn (od 2012/13 do 2022/23) oraz Mistrzostw Świata z lat 2014, 2018 i 2022. Około trzecia część tych strzałów pochodziła z ponad 1500 serii rzutów karnych. Skuteczność w seriach była znacznie niższa niż w trakcie meczu, nawet dla zawodników, którzy regularnie strzelają karne. I to nie była zasługa coraz lepszych bramkarzy. To strzelcy robili coraz gorsze strzały.

Rekordy z Mistrzostw Świata to potwierdzają. W całej historii turniejów w seriach karnych do siatki wpadło 247 z 360 strzałów, czyli 68,6%:

Wybrane turnieje. Każdy z nich to mała próbka, więc wahania z roku na rok to w dużej mierze szum statystyczny.

Ostatni spadek warto jednak omówić. Mistrzostwa 2022 i 2026 plasają się wśród najgorszych turniejów pod względem skuteczności w seriach karnych. Katar przyniósł rekordowe pięć serii, w tym sytuację, w której Hiszpania ani razu nie trafiła do siatki przeciwko Maroku i odpadła z turnieju po porażce 0-3. Przed tym tylko Szwajcaria, w starciu z Ukrainą w 2006 roku, zebrała komplet „zerów”.

Bramkarz nie wygrywa rzutów karnych. To strzelający przegrywa.

Jeśli o karne decyduje głównie to, czy strzelający „pękają”, to zadaniem bramkarza jest właśnie zwiększenie szans na takie pęknięcie. Najlepsi zawsze to rozumieли.

Rekord mundialowy w liczbie obronionych karnych w jednym konkursie wynosi trzy, i trzy bramkarze się go podziela. Ricardo zatrzymał Franka Lamparda, Stevena Gerrarda i Jamiego Carraghera, gdy Portugalia pokonała Anglię 3-1 w Gelsenkirchen w 2006 roku. Danijel Subašić nie dał strzelić Christianowi Eriksenowi, Lasse Schöne i Nicolaiowi Jørgensenowi, gdy Chorwacja grała z Danią w 2018 roku. Dominik Livaković w 2022 roku zatrzymał Takumiego Minamino, Mayę Yoshidę i Kaoru Mitomę w meczu z Japonią. Żaden z nich nie dotyka jednak Helmuta Duckadama, który w finale Pucharu Europy w 1986 roku obronił cztery karne z rzędu dla Steaua Bukareszt przeciwko Barcelonie, broniąc trzy razy prawą i raz lewą.

Praca domowa to też nic nowego. Hans van Breukelen trzymał pudełko z karteczkami, na których zapisywał nawyki specjalistów od karnych, a noc Ricardo w 2006 roku była oparta na czytaniu mężczyzn stojących przed nim.

Bramkarze też są ludzmi

Bramkarze mają swoje własne uprzedzenia. Badanie z 2011 roku w Psychological Science wykazało, że bramkarzy rzucało się w prawo 71% razy, gdy ich drużyna przegrywała, w porównaniu z 48%, gdy prowadziła, i 49%, gdy wynik był remisowy. Ten wzór wiązano z preferencją prawej strony widoczną u ssaków społecznych, i to jest wspanome przypomnienie, że nawet najchłodniejszy bramkarz działa na instynkcie, gdy wynik idzie mu nie po myśli.

Są też sztuki psychologiczne. „Trzęsące się nogi” Bruce’a Grobbelara przeciwko Francesco Grazianiemu z Romy w finale Pucharu Europy w 1984 roku to klasyk, a badania łączą taktyki rozpraszczania i zwlekania przez bramkarzy z mniejszą liczbą goli strzelonych przez karne. Przepisy to ograniczają: bramkarze muszą stać na linii bramki do momentu kopnięcia piłki, a sztuczki zwalaniające czas, jak np. czyszczenie butów, mogą skończyć się żółtą kartką.

W nauce o rzutach karnych nie ma pytania, które wywołyłoby tyle sporów, a odpowiedź przeszła długą drogę.

Teoria brzmi jak żelazna logika. Kto strzela drugi, ten często jest już w tyle, więc każdy kolejny strzał wykonuje się pod presją wynik na tablicy. Ignacio Palacios-Huerta nadał temu konkretny wymiar, wskazując, że drużyna strzelająca pierwsza wygrywa około 60% serii karnych. Stało się to jednym z ulubionych statystyków w piłce, a on nawet zaproponował sprawiedliwszą kolejność opartą na sekwencji Thue-Morse’a, A B B A B A A B, która nieustannie zmienia to, kto ma przewagę.

Lepsze zbiory danych osłabiły tę tezę. Analiza InStat obejmująca ponad 2000 serii karnych wykazała, że drużyna strzelająca pierwsza wygrywa 51,48% razy. W 2012 roku praca w czasopiśmie Management Science autorów Kochera, Lenza i Suttera poszerzyła oryginalną próbkę z 129 do 540 serii karnych i nie wykazała istotnej przewagi dla strzelającego pierwszego. Potem w 2024 roku badanie opublikowane w PLOS ONE, obejmujące ponad 1500 europejskich męskich serii karnych, nie wykazało statystycznej przewagi dla żadnej ze stron przy standardowej naprzemiennej kolejności. Tytuł mówi wszystko: „Serie karnych są trudne, ale naprzemienna kolejność jest sprawiedliwa.”

Eksperyment ABBA

Zanim nowe dowody pojawiły się na scenie, prawodawcy futbolu postanowili jednak spróbować to naprawić, pożyczając schemat serwowania z tie-breaka w tenisie:

Nasze zdanie: ABBA rozwiązywa problem, którego według najnowszych danych prawie nie ma. Kto wygra losowanie nie jest kątem do obstawiania.

„To loteria” – to prawda tylko w połowie. Istnieją dowody na to, że siła drużyny rzeczywiście przewiduje zwycięzcę w serii rzutów karnych, co ma sens: lepsze zespoły zwykle dysponują lepszymi technikami i chłodniejszą głową. Ta przewaga jest jednak niewielka, a trochę arytmetyki pokazuje, dlaczego. To ta sama historia, którą widzimy, gdy pytamy które sporty są najbardziej nieprzewidywalne: im więcej wynik zależy od kilku pojedynczych wydarzeń, tym więcej szczęścia się wkręca.

Wyobraź sobie, że silna drużyna realizuje 75% swoich strzałów, a słabsza 65%. Traktuj każdy strzał jako niezależny:

Oczekiwana liczba goli z pięciu strzałów:   Drużyna A = 3,75   Drużyna B = 3,25

Po pięciu strzałach każda:   A prowadzi 50,3%   remis 25,6%   B prowadzi 24,1%

Śmierć nagła, na rundę: A wygrywa rundę = 0,75 × 0,35 = 26,3%
                         B wygrywa rundę = 0,25 × 0,65 = 16,3%
                         A wygrywa śmierć nagłą = 0,2625 / 0,425 = 61,8%

Drużyna A wygrywa ogólnie ≈ 50,3% + (25,6% × 61,8%) ≈ 66%

Dziesięciopunktowa różnica w skuteczności jest ogromna, a i tak daje tylko około dwie trzecie szansy na zwycięstwo. Zmniejsz ją do czegoś bardziej realistycznego i w krótkim czasie wrócisz do poziomu rzutu monetą. Perfekcja jest rzadka: przy skuteczności 70% na strzał, drużyna strzela wszystkie pięć goli tylko w 16,8% przypadków (0,7 do potęgi pięć).

Więc traktuj serię karnych jako niemal rzut monetą, z lekko przechylonym ciężarem na korzyść lepszej drużyny. Trochę umiejętności, dużo szczęścia i nigdy nic, na co można być pewnym.

Niewiele krajów ma tak chaotyczną historię w rzutach karnych. Anglia przegrała swoje pierwsze trzy w turniejach mundialowych: w półfinale 1990 z RFN, w ćwierćfinale 1998 z Argentyną oraz w ćwierćfinale 2006 z Portugalią, czyli słynny „Ricardo”. Przed turniejem 1918 z Kolumbią ich bilans w oficjalnych seriach karnych brzmiał: jedno zwycięstwo i sześć porażek.

Następnie scenariusz się odwrócił. Anglia pokonała Kolumbię 4:3 w rzutach karnych, a Erica Diera wykazał się precyzją w strzeleniu zwycięskiego gola, zapewniając Anglii pierwsze w historii zwycięstwo w karnych na Mistrzostwach Świata, osiągnięte dopiero za czwartym podejściem. Dwadzieścia osiem lat męczeństwa w karnych na mundialach zakończyło się w jednym wieczór.

Zaraz po nich jest wiele innych drużyn z bliznami po takich porażkach. Włochy, Francja i Holandia przegrały po trzy serie karnych na Mistrzostwach Świata, a Hiszpania przegrała cztery z pięciu, co jest rekordem. Z drugiej strony, Argentyna zagrała siedem razy i wygrała sześć, a Chorwacja ma komplet zwycięstw – cztery na cztery.

W naszym artykule największe momenty Mistrzostw Świata znajdziesz jeszcze więcej wielkich dramaturgii z tych turniejów, a w naszym przeglądzie Mistrzostw Świata 2026 dowiesz się, czego ten sezon nauczył nas jako bettorów.

To właśnie tutaj nauka zaczyna się płacić. Serie rzutowe wpływają na rozliczanie wielu rynków, a zrozumienie zasad jest połową sukcesu.

90 minut vs awans

Rewanż rozstrzygnięty w serii rzutowych jest dla samego meczu remisem. Gole strzelone w seriach nie liczą się dla drużyny ani dla zawodników, dlatego Holendrzy zakończyli Mistrzostwa Świata 2014 oficjalnie jako „niepokonieni”. Standardowy rynek wyniku meczu oraz zakłady na dokładny wynik rozliczają się według stanu po 90 minutach, natomiast „awans” i „zdobycie pucharu” obejmują doki i rzuty karne. Rozliczanie bardziej specjalistycznych rynków różni się od bukmachera do bukmachera, więc warto szybko przejrzeć warunki.

Sposób zwycięstwa

Te rynki dzielą zwycięstwo na trzy warianty: w 90 minut, w doki lub w rzutach karnych. Badania wskazują jednoznacznie. Etap rzutów karnych to niemal rzut monetą z niewielką przewagą dla lepszej drużyny, a nie ma pewnej przewagi wynikającej z tego, kto strzela pierwszy. Wartość polega na ocenie, jak prawdopodobne jest, że mecz będzie nadal remisowy po 120 minutach, a nie na zgadywaniu przebiegu serii rzutowych.

Puchary bez doku

W EFL Cup i Community Shield szansa na rzuty karne to po prostu szansa na remis po 90 minutach. To stawia nisko strzeleckie, wyrównane starcia na pierwszym planie dla rynków „mecz zakończy się w rzutach karnych”. Dwumeczowe puchary europejskie mają swoje specyficzne cechy wynikające z sumy bramek, które wyjaśniamy w naszym przewodniku do strategii zakładu na fazy pucharowe.

• Wycenij remis, a nie rzuty karne. W rynkach „sposób zwycięstwa” i „pójście do rzutów karnych” kluczowym pytaniem jest to, czy mecz zakończy się remisem, a nie kto jest lepszy z jedenastu metrów.
• Przyznaj silniejszej stronie tylko niewielką przewagę w rzutach karnych. Nawet duża różnica w skuteczności strzelania zamienia się jedynie w około dwu-trzy, dlatego trzymaj się z daleka od krótkich kursów na drużynę „zwycięstwo w rzutach karnych”.
• Ignoruj rzut o stronę. Słynny wynik 60% dla pierwszego strzelca nie przetrwał na większych zbiorach danych. Kolejność strzelania nie jest kątem.
• Szacunek dla presji. Skuteczność w rzutach karnych jest znacznie niższa niż przy karach w trakcie meczu, i to strzelcy się potężnieją, więc nigdy nie wycenij strzału w serii jak rutynowe uderzenie z jedenastki.
• Znajomość zasad rozliczenia. Wynik meczu i dokładny wynik kończą się po 90 minutach; „awans” trwa do końca. Bądź jasny, który z nich obstawiasz.
• Traktuj remisy w Pucharze Ligi jako żywe. Przy braku dodatkowego czasu, wynik 1-1 idzie wprost do rzutów karnych, co utrzymuje kurs remisu w grze w tych spotkaniach.

Rzuty karne są naturą wysokowariancyjne, więc trzymaj stawki małe i stałe na wszystko, co zależy od jednej serii.

• Etap pucharowy Ligi Mistrzów: strategie obstawiania dwumeczowych
• Szczęście vs. umiejętności: które sporty są najbardziej nieprzewidywalne?
• Największe sensacje w historii Pucharu Anglii
• Ocenianie Elo wyjaśnione: jak szachowa matematyka rankinguje drużyny piłkarskie
• Ręka gorąca: mit czy rzeczywistość?

18+. Graj odpowiedzialnie. W celu bezpłatnego i poufnego wsparcia odwiedź BeGambleAware.org.